Проблема компенсации путем увеличения дохода потребителя возникает во всех тех случаях, когда происходит повышение цен на один или несколько потребляемых товаров. При этом возможны различные подходы к решению этой проблемы. Наиболее прямой из них использует понятие функции спроса в достаточно общей форме и опирается на понятие компенсации как на такое увеличение дохода, которое позволяет оставить спрос на товар на том уровне, который определялся прежней ценой. Таким образом, применяется функция спроса
D = D(I, p),
где
I – исходный уровень дохода,
p – исходный уровень цены.
Обозначим новый уровень цены:
,
а компенсирующее изменение дохода
.
Легко видеть, что спрос остается неизменным, если выполняется условие
.
Для нормальных и ценных товаров 
и 
, поэтому при повышении цены (Δp>0), для сохранения уровня спроса необходимо увеличение дохода в размере
.
В конкретном случае, когда функция спроса имеет вид:
,
получаем следующее простое соотношение между повышением цены и компенсацией
или 
.
Это означает, что относительное увеличение дохода должно быть пропорционально относительному изменению цены с коэффициентом пропорциональности, равным отношению эластичностей этих факторов.
В более сложном случае многих товаров указанный подход основан на использовании функций спроса вида:
Повышение цены одного из товаров (например, с номером n) изменяет, вообще говоря, спрос на каждый товар. Если для некоторого товара j имеет место соотношение:
,
т.е. при повышении цены на товар n падает спрос на товар j, то продукты n и j являются взаимодополняющими (например, автомобили и бензин).
Нетрудно видеть, что, если среди перечня товаров имеются взаимодополняющие, то в общем случае невозможно точно решить задачу компенсации путем увеличения дохода.
Если же для товара j справедливо неравенство:
,
т.е. повышение цены на товар «n» вызывает увеличение спроса на товар «j», то они называются взаимозаменяемыми (масло и маргарин). Функция спроса обладает свойством сильной валовой заменимости, если все товары являются взаимозаменяемыми. Нетрудно видеть, что в этом случае повышение цены на один товар приводит к снижению спроса только на этот товар, но увеличивает спрос на все остальные. В этой ситуации для расчета необходимой компенсации можно использовать подход, рассмотренный выше для случая одного товара. Однако при этом получается слишком высокий уровень компенсации, поскольку повысится потребление практически всех товаров.
В связи с этим применяется более экономный способ оценки размера компенсации, основанный на использовании понятия функции полезности. При таком подходе объемы спроса на различные товары рассматриваются как решение задачи об оптимальном выборе потребителя в условиях ограниченности дохода:
u(x1, …, xn) → max
xj ≥ 0 (j = 1, …, n)
Решение этой задачи:
определяет максимально достижимый уровень функции полезности 
, который очевидно, зависит и от системы цен p = (p1, …, pn) и от уровня дохода I.
Пусть теперь, как и прежде, повышена цена pn товара «n». Решение модифицированной задачи будет таково, что максимальный уровень 
понизится. В связи с этим возникает естественный вопрос: насколько нужно увеличить доход I, чтобы восстановить прежнее значение 
, а следовательно, и прежний уровень удовлетворения потребителя. В достаточно общей форме ответ на этот вопрос дает уравнение Слуцкого, основные выводы из которого будут далее рассмотрены на простом примере.
Пусть n=2, функция полезности:
.
Решение задачи оптимального выбора имеет вид:
.
Максимальный уровень функции полезности:
Условие сохранения максимального уровня имеет вид:
или 
.
Отсюда получаем выражение для компенсации в случае изменения цен:
.
Таким образом, если цена p2 возрастает (dp2 > 0), а цена p1 остается неизменной (dp1 = 0), то спрос на второй товар упадет, а спрос на первый товар не изменится. Размер компенсации определяется в этом случае отношением
Таким образом, достигнутый уровень удовлетворения будет сохранен, если доход будет увеличен ровно настолько, чтобы потребитель мог приобрести прежний объем второго товара. Однако, нетрудно показать, что на самом деле потребитель использует компенсацию следующим образом: его спрос на товар с повышенной ценой (товар 2) уменьшится, но возрастет объем закупок первого товара. При этом уровень полезности останется тем же, каким он был до повышения цен и получения компенсации. Иллюстрацию этого перехода можно найти на рисунке 5.19.
Рис. 5.19. Оптимальный набор при изменении цен и компенсации
Здесь:
линия С – кривая безразличия, соответствующая максимальному уровню полезности; линия АВ – бюджетная линия до повышения цен; точка D – оптимальный набор; линия FВ – бюджетная линия после повышения цены p2, но до выплаты компенсации; линия А′B′ – бюджетная линия после выплаты компенсации (А′В′ || FВ), точка D′ – оптимальный набор в новых условиях.
В более общем случае, когда задача оптимального выбора имеет вид:
,
можно показать, что компенсационная доплата, сохраняющая прежний уровень максимальной полезности, связана с изменением цен соотношением:
,
где 
– оптимальный спрос на j – товар до изменения цен, а 
– изменение цены на j-тый товар.