В основе построения моделей поведения производителя (отдельного предприятия или фирмы; объединения или отрасли) лежит представление о том, что производитель стремится к достижению такого состояния, при котором ему была бы обеспечена наибольшая прибыль при сложившихся рыночных условиях, т.е. прежде всего при имеющейся системе цен.
Наиболее простая модель оптимального поведения производителя в условиях совершенной конкуренции имеет следующий вид: пусть предприятие (фирма) производит один продукт в количестве y физических единиц. Если p – экзогенно заданная цена этого продукта и фирма реализует свой выпуск полностью, то она получает валовый доход (выручку) в размере:
R(y)=py.
В процессе создания этого количества продукта фирма несет производственные издержки в размере C(y). При этом естественно считать, что C′(y)>0, т.е. издержки возрастают с увеличением объема производства. Также обычно полагают, что C′′(y)>0. Это означает, что дополнительные (маргинальные) издержки на производство каждой дополнительной единицы продукции возрастают по мере увеличения объема производства. Это предположение связано с тем, что при рационально организованном производстве, при малых объемах могут быть использованы лучшие машины и высококвалифицированные работники, которых уже не окажется в распоряжении фирмы, когда объем производства вырастет. На рис. 6.10 представлены типичные графики функций R(y) и C(y). Производственные издержки состоят из следующих составных частей:
1) материальные затраты Cm, в число которых входят расходы на сырье, материалы, полуфабрикаты и т.п.
Разность между валовым доходом и материальными затратами называется добавленной стоимостью (условно чистой продукцией)
VA = Z = R – Cm;
2) расходы на оплату труда Cl;
3) расходы, связанные с использованием, ремонтом машин и оборудования, амортизация, т.н. оплата «услуг капитала» Ck;
4) дополнительные расходы Cr, связанные с расширением производства, строительством новых зданий, подъездных путей, линий связи и т.д.
Совокупные производственные издержки:
C = Cm + Cl + Ck + Cr
Как уже было отмечено выше
С= С(y),
однако эта зависимость от объема выпуска (у) для разных видов издержек различна. А именно имеют место:
а) постоянные расходы C0, которые практически не зависят от y, в т.ч. оплата административного персонала, аренда и содержание зданий и помещений, амортизационные отчисления, проценты за кредит, услуги связи и т.п.:
б) пропорциональные объему выпуска (линейные) затраты C1, сюда входят материальные затраты Cm, оплата труда производственного персонала (часть Cl), расходы по содержанию действующего оборудования и машин (часть Ck) и т.п.
C1 = ay,
где а – обобщенный показатель затрат указанных видов в расчете на одно изделие;
в) «сверхпропорциональные» (нелинейные) затраты С2, в составе которых выступают приобретение новых машин и технологий т.е. затраты типа Сr), оплата сверхурочного труда и т.п. Для математического описания этого вида затрат обычно используется степенная зависимость:
С2 = byh (h > 1).
Таким образом, для представления совокупных издержек можно использовать модель
С(y) = C0 + C1 + C2 = C0 + ay + byh. (2.1).
(Заметим, что условия C′(y)>0, C′′(y)>0 для этой функции выполнены).
Рассмотрим возможные варианты поведения предприятия (фирмы) для двух случаев:
1) Предприятие имеет достаточно большой резерв производственных мощностей и не стремится к расширению производства, поэтому можно полагать, что C2 = 0 и совокупные издержки являются линейной функцией объема выпуска:
С(y) = C0 + ay
Прибыль составит:
П(y) = R – C = py – (C0 + ay).
Очевидно, что при малых объемах выпуска 0 ≤ y ≤ yw фирма несет убытки, т.к. П < 0.
Здесь yw – точка безубыточности (порог рентабельности), определяемая соотношением П(yw) = 0.
Если y > yw, то фирма получает прибыль и окончательное решение об объеме выпуска зависит от состояния рынка сбыта производимой продукции (рис 6.10).
В этом случае имеются две точки безубыточности 
, причем положительную прибыль фирма получит, если объем выпуска У , удовлетворяет условию 
.
Рис. 6.10. Линии выручки и издержек предприятия
На этом отрезке в точке 
достигается наибольшее значение прибыли, таким образом, существует оптимальное решение задачи о максимизации прибыли. В точке А, соответствующей издержкам при оптимальном выпуске, касательная к кривой издержек С параллельна прямой линии дохода R.
Следует заметить, что окончательное решение фирмы также зависит от состояния рынка, но с точки зрения соблюдения экономических интересов, ей следует рекомендовать оптимизирующее значение выпуска (рис. 6.11).
В общем случае, когда С(у) является нелинейной возрастающей и выпуклой вниз функцией (т.к. C′(y)>0 и C′′(y)>0) объема выпуска, ситуация полностью аналогична той, которая рассмотрена в пункте 2. По определению, прибылью считается величина П(y) = R(y) – C(y).
Рис 6.11. Оптимальный объем выпуска
Точки безубыточности 
, определяются из условия равенства прибыли нулю, а максимальное ее значение достигается в точке 
, которая удовлетворяет уравнению:
П′(
) = 0 или R′(
) – C′(
) = 0.
Таким образом, оптимальный объем производства характеризуется тем, что в этом состоянии маргинальный валовый доход (R′(y)) в точности равен маргинальным издержкам C′(y).
В самом деле, если y < 
, то R′(y) > C′ (y), и тогда следует увеличить выпуск продукции, поскольку ожидаемый дополнительный доход превысит ожидаемые дополнительные издержки. Если же y > 
, то R′(y) < C′(y), и всякое увеличение объема уменьшит прибыль, поэтому естественно рекомендовать уменьшить объем производства и придти в состояние y = 
(рис. 6.12).
Рис. 6.12. Точка максимума прибыли и зона безубыточности:
(*).
Нетрудно видеть, что при увеличении цены (р) оптимальный выпуск (а также прибыль) увеличиваются, т.е.
Это верно также и в общем случае, т.к.
Пример. Фирма производит сельскохозяйственные машины в количестве у штук, причем объем производства в принципе может изменяться от 50 до 220 штук в месяц. При этом естественно увеличение объема производства потребует увеличения затрат, как пропорциональных так и сверхпропорциональных (нелинейных), поскольку потребуется приобрести новое оборудование и расширить производственные площади.
В конкретном примере будем исходить из того, что общие издержки (себестоимость) на производство продукции в количестве у изделий выражаются формулой:
C(y) = 1000 + 20y + 0.1y2 (тыс. руб.).
Это означает, что постоянные издержки C0 = 1000 (т. руб.) пропорциональные затраты C1 = 20y, т.е. обобщенный показатель этих затрат в расчете на одно изделие равен а = 20 тыс. руб.; а нелинейные затраты составят C2 = 0.1y2 (b = 0.1).
Приведенная формула выше для издержек является частным случаем общей формулы, где показатель h=2.
Для нахождения оптимального объема производства воспользуемся формулой точки максимума прибыли (*), согласно которой имеем:
.
Совершенно очевидно, что объем производства, при котором достигается максимальная прибыль, весьма существенно определяется рыночной ценой изделия Р.
В приводимой далее таблице, представлены результаты расчета оптимальных объемов при различных значениях цены от 40 до 60 тыс. рублей за изделие.
В первом столбце таблицы фигурируют возможные объемы выпуска у, второй столбец содержит данные о полных издержках С(у), в третьем столбце представлена себестоимость в расчете на одно изделие:
.
Четвертый столбец характеризует значения указанных выше маргинальных издержек МС, которые показывают, во сколько обходится производство одного дополнительного изделия в данной ситуации. Нетрудно заметить, что маргинальные издержки возрастают по мере роста производства, что хорошо согласуется с положением, высказанным в начале этого параграфа. При рассмотрении таблицы следует обратить внимание на то, что оптимальные объемы находятся точно на пересечении строки (маргинальные издержки – МС) и столбца (цена – Р) с равными их значениями, что совершенно аккуратно соотносится с правилом оптимальности, установленным выше.
Проведенный выше анализ относится к обстановке совершенной конкуренции, когда производитель не может повлиять своими действиями на систему цен, и поэтому цена Р на товар У выступает в модели производителя как экзогенная величина.
Таблица 6.1
Данные об объемах выпуска, затратах и прибыли
объемы и затраты
цены и прибыли
Y
C
AC
MC
40
42
44
50
54
60
50
2250
45
30
-250
-150
-50
250
450
740
33
80 3240 40,5 36 -40 +120 280 760 1080 1560 38 100 4000 40 40 0 200 400 1000 1400 2000 41 110 4410 40,1 42 -10 210 430 1090 1530 2190 43 120 4840 40,3 44 -40 200 440 1160 1640 2360 47 150 6250 41,7 50 -250 50 350 1250 1850 2750 52 170 7290 42,9 54 -490 -150 190 1210 1890 2910 57 200 9000 45 60 -1000 -600 -200 1000 1800 3000 62 220 10240 46,5 64 -1440 -1000 -560 760 1640 2960 [/su_table] В случае же несовершенной конкуренции производитель может оказывать непосредственное влияние на цену. В особенности это относится к монопольному производителю товара, который формирует цену из соображения разумной рентабельности. Рассмотрим фирму с линейной функцией издержек, которая определяет цену таким образом, чтобы прибыль составляла определенный процент (долю 0 < γ < 1) от валового дохода, т.е.: Отсюда имеем: Валовый доход: и производство оказывается безубыточным, начиная с самых малых объемов производства ( Требование максимизации прибыли для монополиста имеет вид: Предполагая по-прежнему, что Полезно заметить, что оптимальный выпуск монополиста ( Более реалистичная (но также простая) модель фирмы используется для того, чтобы учесть ресурсные ограничения , которые играют очень большую роль в хозяйственной деятельности производителей. В модели выделяется один наиболее дефицитный ресурс (рабочая сила, основные фонды, редкий материал, энергия и т.п.) и предполагается, что фирма может его использовать не более, чем в количестве Q. Фирма может производить n различных продуктов. Пусть y1,…, yj,…, yn искомые объемы производства этих продуктов; p1,…, pj,…, pn – их цены. Пусть также q – цена единицы дефицитного ресурса. Тогда валовый доход фирмы равен а прибыль составит Легко видеть, что при фиксированных q и Q , задача о максимизации прибыли преобразуется в задачу максимизации валового дохода. Предположим далее, что функция издержек ресурса для каждого продукта Cj(yj), обладает теми же свойствами, которые были высказаны выше для функции С(у). Таким образом, В окончательном виде модель оптимального поведения фирмы с одним ограниченным ресурсом следующая: Нетрудно видеть, что в достаточно общем случае решением этой оптимизационной задачи находится путем исследования системы уравнений: где λ – множитель Лагранжа. Заметим, что соотношение Заметим, что оптимальный выбор фирмы зависит от всей совокупности цен на продукты (p1,…,pn); причем этот выбор является однородной функцией системы цен, т.е. при одновременном изменении цен в одинаковое количество раз оптимальные выпуски а производство остальных товаров уменьшится, т.е. Эти соотношения в совокупности показывают, что в данной модели все продукты являются конкурирующими. Из формулы (***) вытекает также очевидное соотношение: т.е. при увеличении объема ресурса (капиталовложений, рабочей силы и т.п.) оптимальные выпуски увеличиваются. В заключение параграфа приведем ряд простых примеров, которые помогут лучше понять правило оптимального выбора фирмы по принципу максимума прибыли: 1) пусть n = 2; p1 = p2 = 1; a1 = a2 = 1; Q = 0.5; q = 0.5. Тогда из (***) имеем: 2) пусть теперь все условия остались прежними, но удвоилась цена на первый продукт: p1 = 2. Тогда оптимальный по прибыли план фирмы: Ожидаемая максимальная прибыль заметно возрастает: 3) заметим, что в предыдущем примере 2, фирма должна изменить объемы производств, увеличив производство первого и уменьшив производство второго продукта. Предположим, однако, что фирма не гонится за максимальной прибылью и не станет менять налаженное производство, т.е. выберет программу y1=0.5; y2 = 0.5. Оказывается, что в этом случае прибыль составит П = 1.25. Это означает, что при повышении цен на рынке фирма может получить значительное увеличение прибыли без изменения плана выпуска.
.
.
). Легко видеть, что цена зависит от объема, т.е. p = p(y) и при увеличении объема производства (у) цена товара уменьшается, т.е. 
. Это положение имеет место для монополиста и в общем случае.
, имеем уравнение для нахождения оптимального выпуска (
)
), как правило, не превосходит оптимального выпуска конкурентного производителя 
в формуле (*).
,
.
и 
.
(**)
является по существу аналогом отмеченного выше совпадения в оптимальной точке маргинального дохода и маргинальных издержек. В случае квадратичных функций издержек 
из системы (**) имеем:
(***)
не изменяются. Нетрудно видеть также, что из (***) следует, что при увеличении цены на продукт j (при неизменных ценах на другие продукты) его выпуск следует увеличить с целью получения максимальной прибыли, т.е.:
,
.
,
