Моделирование издержек и прибыли предприятия

В основе построения моделей поведения производителя (отдельного предприятия или фирмы; объединения или отрасли) лежит представление о том, что производитель стремится к достижению такого состояния, при котором ему была бы обеспечена наибольшая прибыль при сложившихся рыночных условиях, т.е. прежде всего при имеющейся системе цен.

Наиболее простая модель оптимального поведения производителя в условиях совершенной конкуренции имеет следующий вид: пусть предприятие (фирма) производит один продукт в количестве y физических единиц. Если p – экзогенно заданная цена этого продукта и фирма реализует свой выпуск полностью, то она получает валовый доход (выручку) в размере:

R(y)=py.

В процессе создания этого количества продукта фирма несет производственные издержки в размере C(y). При этом естественно считать, что C′(y)>0, т.е. издержки возрастают с увеличением объема производства. Также обычно полагают, что C′′(y)>0. Это означает, что дополнительные (маргинальные) издержки на производство каждой дополнительной единицы продукции возрастают по мере увеличения объема производства. Это предположение связано с тем, что при рационально организованном производстве, при малых объемах могут быть использованы лучшие машины и высококвалифицированные работники, которых уже не окажется в распоряжении фирмы, когда объем производства вырастет. На рис. 6.10 представлены типичные графики функций R(y) и C(y). Производственные издержки состоят из следующих составных частей:

1) материальные затраты Cm, в число которых входят расходы на сырье, материалы, полуфабрикаты и т.п.

Разность между валовым доходом и материальными затратами называется добавленной стоимостью (условно чистой продукцией)

VA = Z = R – Cm;

2) расходы на оплату труда Cl;

3) расходы, связанные с использованием, ремонтом машин и оборудования, амортизация, т.н. оплата «услуг капитала» Ck;

4) дополнительные расходы Cr, связанные с расширением производства, строительством новых зданий, подъездных путей, линий связи и т.д.

Совокупные производственные издержки:

C = Cm + Cl + Ck + Cr

Как уже было отмечено выше

С= С(y),

однако эта зависимость от объема выпуска (у) для разных видов издержек различна. А именно имеют место:

а) постоянные расходы C0, которые практически не зависят от y, в т.ч. оплата административного персонала, аренда и содержание зданий и помещений, амортизационные отчисления, проценты за кредит, услуги связи и т.п.:

б) пропорциональные объему выпуска (линейные) затраты C1, сюда входят материальные затраты Cm, оплата труда производственного персонала (часть Cl), расходы по содержанию действующего оборудования и машин (часть Ck) и т.п.

C1 = ay,

где а – обобщенный показатель затрат указанных видов в расчете на одно изделие;

в) «сверхпропорциональные» (нелинейные) затраты С2, в составе которых выступают приобретение новых машин и технологий т.е. затраты типа Сr), оплата сверхурочного труда и т.п. Для математического описания этого вида затрат обычно используется степенная зависимость:

С2 = byh  (h > 1).

Таким образом, для представления совокупных издержек можно использовать модель

С(y) = C0 + C1 + C2 = C0 + ay + byh.  (2.1).

(Заметим, что условия C′(y)>0, C′′(y)>0 для этой функции выполнены).

Рассмотрим возможные варианты поведения предприятия (фирмы) для двух случаев:

1) Предприятие имеет достаточно большой резерв производственных мощностей и не стремится к расширению производства, поэтому можно полагать, что C2 = 0 и совокупные издержки являются линейной функцией объема выпуска:

С(y) = C0 + ay

Прибыль составит:

П(y) = R – C = py – (C0 + ay).

Очевидно, что при малых объемах выпуска 0 ≤ y ≤ yw  фирма несет убытки, т.к. П < 0.

Здесь yw – точка безубыточности (порог рентабельности), определяемая соотношением П(yw) = 0.

Если y > yw, то фирма получает прибыль и окончательное решение об объеме выпуска зависит от состояния рынка сбыта производимой продукции (рис 6.10).

В этом случае имеются две точки безубыточности , причем положительную прибыль фирма получит, если объем выпуска У , удовлетворяет условию .

Рис. 6.10. Линии выручки и издержек предприятия

На этом отрезке в точке достигается наибольшее значение прибыли, таким образом, существует оптимальное решение задачи о максимизации прибыли. В точке А, соответствующей издержкам при оптимальном выпуске, касательная к кривой издержек С параллельна прямой линии дохода R.

Следует заметить, что окончательное решение фирмы также зависит от состояния рынка, но с точки зрения соблюдения экономических интересов, ей следует рекомендовать оптимизирующее значение выпуска (рис. 6.11).

В общем случае, когда С(у) является нелинейной возрастающей и выпуклой вниз функцией (т.к. C′(y)>0 и C′′(y)>0) объема выпуска, ситуация полностью аналогична той, которая рассмотрена в пункте 2. По определению, прибылью считается величина П(y) = R(y) – C(y).

Рис 6.11. Оптимальный объем выпуска

Точки безубыточности , определяются из условия равенства прибыли нулю, а максимальное ее значение достигается в точке , которая удовлетворяет уравнению:

П′() = 0 или R′() – C′() = 0.

Таким образом, оптимальный объем производства характеризуется тем, что в этом состоянии маргинальный валовый доход (R′(y)) в точности равен маргинальным издержкам C′(y).

В самом деле, если y < , то R′(y) > C′ (y), и тогда следует увеличить выпуск продукции, поскольку ожидаемый дополнительный доход превысит ожидаемые дополнительные издержки. Если же y > , то R′(y) < C′(y), и всякое увеличение объема уменьшит прибыль, поэтому естественно рекомендовать уменьшить объем производства и придти в состояние y = (рис. 6.12).

Рис. 6.12. Точка максимума прибыли и зона безубыточности:

(*).

Нетрудно видеть, что при увеличении цены (р) оптимальный выпуск  (а также прибыль) увеличиваются, т.е.

Это верно также и в общем случае, т.к.

Пример. Фирма производит сельскохозяйственные машины в  количестве у штук, причем объем производства в принципе может изменяться от 50 до 220 штук в месяц. При этом естественно увеличение объема производства потребует увеличения затрат, как пропорциональных так и сверхпропорциональных (нелинейных), поскольку потребуется приобрести новое оборудование и расширить производственные площади.

В конкретном примере будем исходить из того, что общие издержки (себестоимость) на производство продукции в количестве у изделий выражаются формулой:

C(y) = 1000 + 20y + 0.1y2 (тыс. руб.).

Это означает, что постоянные издержки C0 = 1000 (т. руб.) пропорциональные затраты C1 = 20y, т.е. обобщенный показатель этих затрат в расчете на одно изделие равен а = 20 тыс. руб.; а нелинейные затраты составят C2 = 0.1y2 (b = 0.1).

Приведенная формула выше для издержек является частным случаем общей формулы, где показатель h=2.

Для нахождения оптимального объема производства воспользуемся формулой точки максимума прибыли (*), согласно которой имеем:

.

Совершенно очевидно, что объем производства, при котором достигается максимальная прибыль, весьма существенно определяется рыночной ценой изделия Р.

В приводимой далее таблице, представлены результаты расчета оптимальных объемов при различных значениях цены от 40 до 60 тыс. рублей за изделие.

В первом столбце таблицы фигурируют возможные объемы выпуска у, второй столбец содержит данные о полных издержках С(у), в третьем столбце представлена себестоимость в расчете на одно изделие:

.

Четвертый столбец характеризует значения указанных выше маргинальных издержек МС, которые показывают, во сколько обходится производство одного дополнительного изделия в данной ситуации. Нетрудно заметить, что маргинальные издержки возрастают по мере роста производства, что хорошо согласуется с положением, высказанным в начале этого параграфа. При рассмотрении таблицы следует обратить внимание на то, что оптимальные объемы находятся точно на пересечении строки (маргинальные издержки – МС) и столбца (цена – Р) с равными их значениями, что совершенно аккуратно соотносится с правилом оптимальности, установленным выше.

Проведенный выше анализ относится к обстановке совершенной конкуренции, когда производитель не может повлиять своими действиями на систему цен, и поэтому цена Р на товар У выступает в модели производителя как экзогенная величина.

Таблица 6.1

Данные об объемах выпуска, затратах и прибыли

В случае же несовершенной конкуренции производитель может оказывать непосредственное влияние на цену. В особенности это относится к монопольному производителю товара, который формирует цену из соображения разумной рентабельности.

Рассмотрим фирму с линейной функцией издержек, которая определяет цену таким образом, чтобы прибыль составляла определенный процент (долю 0 < γ < 1) от валового дохода, т.е.:

.

Отсюда имеем:

.

Валовый доход:

и производство оказывается безубыточным, начиная с самых малых объемов производства (). Легко видеть, что цена зависит от объема, т.е. p = p(y) и при увеличении объема производства (у) цена товара уменьшается, т.е. . Это положение имеет место для монополиста и в общем случае.

Требование максимизации прибыли для монополиста имеет вид:

Предполагая по-прежнему, что , имеем уравнение для нахождения оптимального выпуска ()

Полезно заметить, что оптимальный выпуск монополиста (), как правило, не превосходит оптимального выпуска конкурентного производителя в формуле (*).

Более реалистичная (но также простая) модель фирмы используется для того, чтобы учесть ресурсные ограничения , которые играют очень большую роль в хозяйственной деятельности производителей. В модели выделяется один наиболее дефицитный ресурс (рабочая сила, основные фонды, редкий материал, энергия и т.п.) и предполагается, что фирма может его использовать не более, чем в количестве Q. Фирма может производить n различных продуктов. Пусть y1,…, yj,…, yn искомые объемы производства этих продуктов; p1,…, pj,…, pn – их цены. Пусть также q – цена единицы дефицитного ресурса.  Тогда валовый доход фирмы равен

  ,

а прибыль составит

  .

Легко видеть, что при фиксированных q и Q , задача о максимизации прибыли преобразуется в задачу максимизации валового дохода.

Предположим далее, что функция издержек ресурса для каждого продукта Cj(yj), обладает теми же свойствами, которые были высказаны выше для функции С(у). Таким образом, и .

В окончательном виде модель оптимального поведения фирмы с одним ограниченным ресурсом следующая:

Нетрудно видеть, что в достаточно общем случае решением этой оптимизационной задачи находится путем исследования системы уравнений:

  (**)

где λ – множитель Лагранжа.

Заметим, что соотношение является по существу аналогом отмеченного выше совпадения в оптимальной точке маргинального дохода и маргинальных издержек. В случае квадратичных функций издержек из системы (**) имеем:

(***)

Заметим, что оптимальный выбор фирмы зависит от всей совокупности цен на продукты (p1,…,pn); причем этот выбор является однородной функцией системы цен, т.е. при одновременном изменении цен в одинаковое количество раз оптимальные выпуски не изменяются. Нетрудно видеть также, что из (***) следует, что при увеличении цены на продукт j (при неизменных ценах на другие продукты) его выпуск следует увеличить с целью получения максимальной прибыли, т.е.:

,

а производство остальных товаров уменьшится, т.е.

.

Эти соотношения в совокупности показывают, что в данной модели все продукты являются конкурирующими. Из формулы (***) вытекает также очевидное соотношение:

,

т.е. при увеличении объема ресурса (капиталовложений, рабочей силы и т.п.) оптимальные выпуски увеличиваются.

В заключение параграфа приведем ряд простых примеров, которые помогут лучше понять правило оптимального выбора фирмы по принципу максимума прибыли:

1) пусть n = 2; p1 = p2 = 1; a1 = a2 = 1; Q = 0.5; q = 0.5.

Тогда из (***) имеем:

2) пусть теперь все условия остались прежними, но удвоилась цена на первый продукт: p1 = 2.

Тогда оптимальный по прибыли план фирмы:

Ожидаемая максимальная прибыль заметно возрастает:

3) заметим, что в предыдущем примере 2, фирма должна изменить объемы производств, увеличив производство первого и уменьшив производство второго продукта. Предположим, однако, что фирма не гонится за максимальной прибылью и не станет менять налаженное производство, т.е. выберет программу y1=0.5;  y2 = 0.5.

Оказывается, что в этом случае прибыль составит П = 1.25. Это означает, что при повышении цен на рынке фирма может получить значительное увеличение прибыли без изменения плана выпуска.