Издержки предприятия на производство продукции, задача их минимизации
Классификация издержек. Любое производство связано с затратами сырья, электроэнергии, рабочей силы, оборудования, земли и так далее. Без использования необходимых ресурсов невозможно создать новые блага.
Издержки производства – это совокупность расходов, которые несет предприниматель при обеспечении того или иного объема производства продукции и ее последующей реализации в определенный период времени. Издержки можно классифицировать по многим признакам.
Постоянные издержки (FC) – это издержки, величина которых в краткосрочном периоде не изменяется с увеличением или сокращением объема производства. К постоянным издержкам относятся издержки, связанные с использованием зданий и сооружений, машин и производственного оборудования, арендой, капитальным ремонтом, а также административные расходы. Они выплачиваются даже тогда, когда продукция вообще не выпускается.
Переменные издержки (VC) – это издержки, величина которых изменяется в зависимости от увеличения или уменьшения объема производства. К ним относятся затраты на сырье, электроэнергию, вспомогательные материалы, оплату труда.
Общие издержки (ТС) – это совокупность постоянных и переменных издержек фирмы в связи с производством продукции в краткосрочный период.
Каждому производителю необходимо знать средние издержки (т.е. издержки на производство единицы продукции), так как именно они сравнимы с ценой. Они имеют значение при определении прибыльности и убыточности производства.
Средние постоянные издержки (AFC) – это постоянные издержки на производство единицы продукции (FC/y). Поскольку с увеличением объема производства растет общая выручка, то средние постоянные издержки представляют собой все меньшую и меньшую величину.
Средние переменные издержки (AVC) – переменные издержки на производство единицы продукции (VC/y). Они достигают своего минимума, когда достигнут технологически оптимальный размер предприятия. Понятие средних переменных издержек необходимо для определения эффективности хозяйствования фирмы, положения равновесия и определения ближайших перспектив развития – расширения, сокращения производства или ухода из отрасли.
Средние общие издержки (АТС) – отношение общих издержек к объему выпускаемой продукции (ТС/у).
Предельные издержки (МС) – это приращение совокупных издержек, вызванное бесконечно малым увеличением производства (ΔТС/Δу). Когда МС<АТС, кривая средних издержек идет вниз: производство каждой новой единицы продукции уменьшает средние издержки. Когда МС>АТС, кривая средних издержек идет вверх: производство новой единицы продукции увеличивает средние издержки. Когда АТС=min, то МС=АТС. Кривая предельных издержек пересекает кривую средних переменных издержек и кривую средних общих издержек в точках их минимального значения.
Дадим понятие функции издержек. Функция издержек выражает зависимость между объемом произведенной продукции и минимально необходимыми затратами ее производства:
C=C (y). (6-1)
Для количественной характеристики зависимости общих затрат от объема выпускаемой продукции используется коэффициент эластичности затрат от выпуска (еC,Q). Он показывает, на сколько процентов изменятся общие затраты при изменении выпуска на 1%:
еC,Q =(ΔTC/Δy)*(y/TC) = MC/AC (6-2)
Для количественного определения затрат нужно знать цены услуг факторов производства. В общем виде, зависимость:
x=x(y) (6-3)
это зависимость объемов ресурсов от объема выпуска продукции. Такую функцию называют функцией производственных затрат ресурсов, а сами издержки
Z(y)=q1*x1(y)+q2*x2(y)+…+qn*xn(y) (6-4)
Рассмотрим случай, когда имеется два фактора производства: труд и капитал. Обозначим ставку заработной платы (цену труда) – rL, а арендную плату за использование капитала в единицу времени – rK. Тогда общие издержки (ТС) выпуска некоторого количества продукции равны:
TC = rL*L+rK*K (6-5)
Объемы применяемых факторов производства при заданном выпуске предопределены технологией, представляемой производственной функцией y=y(L,K). Поэтому L=L(y), K=K(y), а, следовательно, и TC=TC(y). Допустим, что технология производства характеризуется производственной функцией Кобба-Дугласа:
y=A*x1a1*x2a2*…*xnan, (6-6)
где А>0, 0<aj<1, j=1,…,n (в нашем случае y=LaK1-a ) (6-7)
(различные виды производственных функций подробнее будут рассмотрены в главе II)
В краткосрочном периоде объем капитала фиксирован, и производственная функция в качестве аргумента содержит лишь количество применяемого труда. Чтобы при заданной технологии произвести у единиц продукции, требуется L=(y*K1-a)1/a единиц труда. Подставим это значение в формулу (6-5):
TC=rL*(y*K1-a)1/a+rK*K=TC (y) (6-8)
Предельные затраты при данной технологии, характеризующейся функцией Кобба-Дугласа, равны:
MC=rL/α*(y/K)(1-α)/α (6-9)
Средние постоянные издержки, средние переменные и средние общие издержки соответственно равны rK*K/y, rL*(y/K)(1-α)/α и rK*K/y+rL*(y/K)(1-α)/α .
Поскольку по определению функция затрат выражает зависимость между выпуском продукции и минимальными затратами на ее производство, то предварительно нужно найти такое сочетание труда и капитала, которое обеспечивает минимальные затраты на заданный выпуск. При заданной сумме общих производственных затрат ТС множество всевозможных сочетаний труда и капитала определено уравнением (6 — 5) Решим его относительно К:
K=TC/rK-(rL/rK)*L (6-10)
Уравнение (6-10) – это уравнение изокосты. Тангенс угла наклона изокосты равен соотношению цен на факторы, а ее отдаленность от начала координат определяется объемом производственных расходов. Все сочетания объемов труда и капитала, соответствующие точкам на изокосте и под ней, «по карману» производителю, а все комбинации обоих факторов, отмеченные точками выше изокосты, ему не доступны. Траектория точек касания изоквант (графиков производственных функций) и изокост указывает такое сочетание ресурсов, при котором затраты, необходимые для каждого из выпусков, минимальны. В точке касания наклон изокванты совпадает с наклоном изокосты. Таким образом, задача минимизации издержек сводится к следующему: необходимо найти такую изокосту, которая являлась бы касательной к заданной изокванте, т. е. нужно найти точку касания изокосты с наиболее удаленной изоквантой. Точка касания х* и есть оптимальное решение. Эту задачу будем решать методом множителей Лагранжа.
Задача минимизации издержек
Для задачи минимизации издержек функция Лагранжа имеет вид:
F(x1,x2,…,xn,λ1)=q1*x1+q2*x2+…+qn*xn+λ1*(y0-f(x1,x2,…,xn)), (6-11)
где q1,q2,…,qn – цены соответственно ресурсов x1,x2,…,xn
f(x1,x2,…,xn)=y0
x1>=0, x2>=0, …, xn>=0
Далее получаем систему уравнений:
F/ xj=qj-λ1* f/ xj=0, j=1,2,…,n (6-12)
F/ λ1=y0-f(x1,x2,…,xn)=0 или
f/ xj=1/λ1*qj, j=1,2,…,n; f(x1,x2,…,xn)=y0 (6-13)
В точке минимума получим:
Предельные производительности ресурсов пропорциональны их ценам (коэффициент пропорциональности равен 1/λ*1), т.е.:
f / xj=(1/λ*1)*qj; j=1,2,…,n; (6-14)
отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению их цен, т.е.:
( f/ xj):( f/ xi)=qj/qi; j,i=1,2,…,n; j≠i; (6-15)
отношение предельных производительностей ресурсов к их ценам равны между собой, т.е.:
( f/ xj):qj=1/λ*1, j=1,2,…,n (6-16)
Полученные соотношения составляют основу теории предельной производительности факторов производства как теории стоимости, а именно: цены ресурсов пропорциональны предельным производительностям ресурсов, в частности для труда имеем, что он оценивается в соответствии со своей предельной производительностью.
Дадим интерпретацию множителя Лагранжа. Имеем:
dZ=q1*dx1+q2*dx2+…+qn*dxn .
В точке минимума qj=(λ*1)*( f/ xj), j=1,2,…,n, следовательно,
dZ=λ*1(( f/ x1)*dx1+( f/ x2)*dx2+…+( f/ xn)*dxn)=(λ*1)*dy. (6-17)
Отсюда:
λ*1=dZ/dy, (6-18)
т.е. λ*1 есть общие предельные издержки на единицу дополнительной продукции.
Рассмотрим некоторые типы функций затрат ресурсов и издержек.
Пусть задана линейная неоднородная функция затрат ресурсов
xj=αj*y+bj, j=1,2,…,n, αj>0, bj>0, j=1,2,…,n.
Тогда функция издержек имеет вид:
C(y)=a*y+b,
где a=∑qj*αj, b=∑qj*bj.
Если задана нелинейная функция затрат ресурсов xj=φj(y), j=1,2,…,n, то
C(y)=∑qj*φj(y).
Задача максимизации объема выпуска продукции
Задача максимизации объема производства состоит в том, чтобы определить максимальный объем выпуска продукции при заданных затратах ресурсов. Математически она формулируется следующим образом:
Y=f(x1,x2,…,xn)→max (6-19)
при условиях
q1*x1+q2*x2+…+qn*xn=C, (6-20)
x1>=0, x2>=0,…,xn>=0 (6-21)
Геометрически это означает, что нужно найти изокванту производственной функции y=f(x1,x2), которая касалась бы заданной изокосты q1*x1+q2*x2=C.
Для каждой изокванты характерны следующие свойства:
изокванта, лежащая выше и правее другой, соответствует большему количеству произведенной продукции; изокванты не пересекаются; в экономической области изокванты имеют отрицательный наклон, т.е. они обращены выпуклостью к началу координат.
Рассмотрим некоторые производственные функции, которые часто используются при анализе поведения производителя:
Линейная производственная функция имеет вид:
y=a1*x1+a2*x2+…+an*xn,
для которой а1>0, a2>0,…, an>0, т.е. предполагается линейная зависимость выпуска продукции от затрат факторов производства;
Производственнная функция с постоянными параметрами. Такая функция задается соотношением:
y=min(x1/a1,x2/a2,…,xn/an), где a1>0, a2>0,…, an>0 ;
Производственная функция Кобба-Дугласа. Фyнкция имеет вид y=A*x1α1*x2α2*…*xnαn, где A>0, 0<αj<1, j=1,2,…,n (именно этот тип производственных функций будет рассмотрен в качестве примера в моей курсовой) ; Производственная функция с постоянной эластичностью замены (CES). Такая функция имеет вид:
y=A*(B1*x1-p+…+Bn*xn-p)-γ/p, для которой A>0, 0<Bj<1, j=1,2,…,n. .
Задачу максимизации объема выпуска продукции будем решать также методом множителей Лагранжа.
Функция Лагранжа данной задачи будет иметь вид:
F(x1,x2,…,xn,λ2)=f(x1,x2,…,xn)+λ2*(C-∑qi*xi).
Условиями оптимальности будут:
F/ xj= f/ xj-λ2*qj=0, j=1,2,…,n;
F/ λ2=C-∑qi*xi=0
или
f/ xj=λ2*qj, j=1,2,…,n; ∑qi*xi=C (6-22)
В точке максимума х* будут иметь место соотношения, аналогичные соответственным соотношениям в задаче минимизации издержек, а именно:
предельные производительности ресурсов пропорциональны их ценам с коэффициентом пропорциональности λ*2, т.е.:
f/ xj=(λ*2)*qj, j=1,2,…,n;
отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению их цен, т.е.
( f/ xj): ( f/ xi)=qj:qi; j,i=1,2,…,n, j≠i;
отношение предельных производительностей ресурсов к их ценам равны между собой, т.е.
( f/ xj)=λ*2, j=1,2,…,n .
Определим экономический смысл множителя λ*2. Полный дифференциал производственной функции будет:
dy=( f/ x1)*dx1+( f/ x2)*dx2+…+( f/ xn)*dxn. (6-23)
Так как в точке максимума х* имеет место соотношение:
f/ xj=(λ*2)*qj (j=1,2,…,n), то
dy=(λ*2)*(q1*dx1+q2*dx2+…+qn*dxn)=(λ*2)*dZ=(λ*2)*dC. (6-24)
Отсюда получаем dy/dZ=dy/dC=λ*2. (6-25)
Таким образом, λ*2 выражает дополнительный выпуск продукции в расчете на единицу общих затрат, т.е. он выражает общую предельную производительность ресурсов.
Таким образом, можно заключить, что λ*1 и λ*2 для рассматриваемых задач по смыслу взаимообратные. Поэтому указанные две задачи называют взаимными задачами для производителя.
Если в качестве С в задаче максимизации выпуска продукции взять Z*=Zmin, полученный в задаче минимизации издержек при у=у0, то максимальный объем выпуска продукции у*=у0, λ*2=1/λ*1, а точки оптимума совпадают.
Заключение
Технологическая связь между выпуском продукции и затратами задается функцией y=f(x)=f(x1,x2,…,xn), зависящей от n переменных, которую называют производственной функцией. А функцию С(y)=Zmin(y)=∑qi*x*i(y) называют функцией издержек.
Задача минимизации издержек на производство продукции:
Z=∑qi*xi→min
и задача максимизации объема выпуска продукции:
y=f(x1,x2,…,xn)→max
являются взаимными задачами для производителя.
Причем в точке оптимума как издержек, так и объема выпуска продукции наблюдаются следующие соотношения:
предельные производительности ресурсов пропорциональны их ценам; отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению их цен; отношение предельных производительностей ресурсов к их ценам равны между собой.
Геометрическое решение задачи определения максимально возможного выпуска при имеющихся у производителя денежных средствах, представленных изокостой, и заданной производственной функции, представленной семейством изоквант, состоит в следующем: нужно найти точку касания изокосты с наиболее удаленной изоквантой.