Оптимальная комбинация ресурсов

Использование аппарата производственных функций дает возможность решения задачи об оптимальном использовании средств, предназначенных для приобретения производственных факторов.

Предположим, что факторы (x1, …, xN) могут быть закуплены по ценам (p1, …, pN), а объем имеющихся средств для приобретения составляет b (руб.). Тогда соотношение, описывающие множество допустимых наборов факторов имеет вид:

,

Граничная линия этого множества, соответствующая полному использованию имеющихся средств, т.е.

,

называется изокостой, поскольку ей отвечают наборы, имеющие одинаковую стоимость b. Задача об оптимальном использовании средств формулируется так: требуется найти набор факторов, который дает наибольший выпуск продукции при ограниченных финансовых средствах b. Таким образом, требуется найти решение задачи:

Искомое решение находится из системы уравнений:

где λ- множитель Лагранжа.

В частности, если число фактором N=2, задача допускает наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Оптимальная комбинация ресурсов

Здесь отрезок АВ есть изокоста, кривая  R – изокванта, касающаяся изокосты в точке D, которая и соответствует оптимальному набору факторов ().

Полезно привести полное решение поставленной задачи для случая двух факторов, т.е. N=2.

Пусть x1 = K – капитал (основные фонды);

x2 = L – труд  (рабочая сила);

производственная функция:

;

условие ограниченности ресурса:

,

где r – цена использования машин и оборудование (т.е. услуг капитала), равная норме банковского процента;

w – ставка оплаты труда.

Условия оптимальности имеют вид:

а)  .

Это условие означает, что объем используемого капитала должен быть принят на том уровне, когда маргинальная фондоотдача () равна норме процента; дальнейшее увеличение капитала приведет к снижению его эффективности.

б)  .

Это условие требует, чтобы количество занятой рабочей силы было взято на уровне, когда маргинальная производительность труда () равна ставке заработной платы, т.к. дальнейшее увеличение количества занятых приводит к убыткам (точка на рис. 6.8).

Рис. 6.8. Оптимальное количество занятых

Здесь угловой коэффициент касательной в точке А равен w.

Для ПФ типа Кобба-Дугласа задача имеет вид:

найти

при условии

Решение получим следующее:

Множитель характеризует здесь предельную продуктивность финансовых средств, т.е. показывает, на какую величину изменится максимальный выпуск продукции , если объем средств b увеличится на «малую» единицу.

Заметим, что сумма эластичностей капитала (α) и труда (β), характеризует так называемый удельный выпуск (отдачу) при изменении масштаба производства, т.е. когда расход ресурсов (K и L) увеличивается в одинаковое число раз. Если α + β > 1, то отдача возрастает, если α + β = 1, то отдача постоянная, если α + β < 1, то отдача убывает, а производственная функция является выпуклой вверх.