Построение модели управления запасами в условиях детерминированного спроса

Оптимальные партии поставки для однопродуктовых моделей

Модель управления запасами в условиях детерминированного спроса – это модель где интенсивность поступления требований предполагается известной и постоянной во времени. Как известно, на практике спрос почти никогда нельзя указать с определенностью; вместо этого его следует описывать в вероятностных терминах.

Детерминированные модели интересны тем, что позволяют познакомиться с методами анализа, используемыми в более сложных системах. Кроме того, результаты, полученные с помощью этих моделей, дают качественно правильные суждения о поведении системы даже при отказе от гипотезы детерминированного спроса.

На рис.4.1. показан самый общий случай образования (ОА), расходования (АК) запаса, затем возможное образование дефицита (КD) и его удовлетворения (DS). В точке S вновь начинается формирование запаса, так что временной отрезок OS представляет собой продолжительность рассмотренного цикла.

Рис. 4.1. Схема движения запасов для детерминированного спроса.

Таким образом, на рис.4.1. показана схема однопродуктовой модели с учетом неудовлетворенных требований и конечной интенсивностью потребления и расходования запаса, где по оси ординат откладывается величина текущего запаса I, а по оси абсцисс – время t.

Обозначим:

  λ –  интенсивность поступления;

  ν –  постоянная интенсивность потребления;

  τ1 – продолжительность формирования запаса со

скоростью λ [ед. запаса/ ед. времени];

  τ2  –  время расходования запаса со скоростью  ν;

  τ3 –  время образования дефицита со скоростью ν;

  τ4 –  время погашения дефицита со скоростью λ.

Тогда (λ-ν) – интенсивность (скорость) пополнения запаса.

Максимальный уровень (объем) наличного запаса AB=Y составит:

Максимальный уровень дефицита ED=y составит:

Продолжительность цикла поставки очередной партии или время возобновления запаса :

Так как спрос удовлетворяется полностью, но не всегда своевременно, то величина партии поставки:

Выразив , и через и из (4-1) и (4-2) соответственно, получим:

Общие издержки при работе этой системы обеспечения запасами складываются из:

издержек от размещения запасов, которые не зависят от величины ; издержек от содержания запасов ; издержек от наличия дефицита .

Величина:

где – удельные расходы на хранение и иммобилизацию средств

[ руб./ ед. 60 минут].

Потери из-за отсутствия продукции, на которую предъявляются требования, или от дефицита считаем пропорциональными средней величине задолженных требований и времени их осуществления:

где — удельные издержки дефицита, т.е. потери, связанные с нехваткой единицы продукции в единицу времени.

Учитывая полученные выражения , и , получим формулу для общих издержек в системе в течении цикла :

отсюда удельные издержки за цикл составят:

Найдем оптимальные значения ?2* и ?3* из условия, что:

Условия (4-10) позволяют получить систему двух уравнений с двумя неизвестными   и  :

Обозначим и разделим первое из уравнений системы (4-11) на второе, найдем:

.

Откуда , и тогда

Подставив (4-12) в любое из уравнений системы (4-11), получим оптимальные значения:

Учитывая (4-13) и (4-14), из (4-5) получим оптимальные значения еще двух составляющих продолжительности цикла возобновления запасов:

Подставив ?2* и ?2*   в формулы (4-5) и (4-4), получим оптимальные значения цикла повторения заказа и партии однопродуктовой поставки:

?ц*=? 2·K/(S·ν)·?(1+ S / d)/ (1-ν/λ)= S1/B1  (4-17)

q* = ? 2·K·ν/S·?(1+ S / d)/ (1-ν/λ)= S2/B1  (4-18)

Аналогично, подставив значения ?2* и ?3* из (4-13) и (4-14) в (4-9), определим оптимальные удельные издержки системы:

Lуд*=? 2·K·ν·S? (1-ν/λ)/(1+ S / d)= ? 2·K·ν·S· B1  (4-19)

И, наконец, находим оптимальные значения максимального уровня наличного запаса и задолженного спроса:

Y*= ? 2·K·ν/S·? (1-ν/λ)/(1+ S / d)= ? 2·K·ν/(S · B1)  (4-20)

y*= S / d·? 2·K·ν/S·? (1-ν/λ)/(1+ S / d)= S / d·? 2·K·ν/(S · B1 )  (4-21)

Общие оптимальные издержки системы за время возобновления запаса составят:

Lобщ *= Lуд* ·?ц*  (4-22)

Модель с учетом неудовлетворенных требований при конечной интенсивности поступлений можно широко применять при:

управлении поставками материальных ресурсов; определении оптимальной величины запуска деталей в производство с учетом переналадок на одном и том же технологическом оборудовании.

Во втором случае K – это издержки, связанные с переналадками. Предполагается, что они не зависят от величины выпускаемой партии и порядка запуска деталей в производство, λ – интенсивность выпуска (производительность),

?1+ ?4 – время, затраченное на производство определенного типа изделий.

Из уравнений (4-13) – (4-22) можно получить ряд других частных моделей:

при большой интенсивности пополнения, когда вся заказанная партия поступает одновременно; это значит, что λ>>ν и тогда можно принять ν/λ→0. при больших штрафах за допущение дефицита S/d→0, т.е. дефицит недопустим (d>>S). когда пункты а) и b) действуют одновременно. т.е. ν/λ→0, S/d→0, тогда имеем:

q* = ? 2·K·ν/S

?ц*=? 2·K/(S·ν)

Lуд*=? 2·K·ν·S

Последняя модель в отечественной и зарубежной литературе получила название Уилсона.

Применяя формулы (4-17) – (4-19), можно показать, что за счет разумного компромисса между затратами на содержание и потерями от дефицита можно уменьшить общие затраты в единицу времени в ?1+S/d раз. При ν/λ→0 и высоких штрафах за дефицит рассматриваемая модель превращается в модель Уилсона.